📐 第 5 課 · 指數函式（a的x次方）

連鎖反應

一顆炸彈引爆兩顆，兩顆引爆四顆……這就是指數增長的「爆炸力」

💥 真實連鎖動畫⏱ 約 15 分鐘📐 人教版必修第一冊

🎯 本課學習目標

1
💥 連鎖引爆：1 → 2 → 4 → 8 → 16…
① 遊戲引入 · 選代數後點引爆 →

💥 一顆炸彈能引發多大災難？

每顆炸彈爆炸時，會引爆周圍 a 顆新炸彈。第 n 代的炸彈數量是 aⁿ——這就是指數函式（a的x次方）！

第 0 代 總數: 0

📊 每代炸彈數量

累計炸彈總數
0

📈 數量 vs 代數 (y = aˣ)

2
📖 指數函式（a的x次方） y = aˣ
② 概念講解 · 核心概念

📖 定義

📘 指數函式（a的x次方）

一般地，函式 y = aˣ (a > 0 且 a ≠ 1) 叫做指數函式（a的x次方），其中 x 是自變數，輸入的範圍（x的取值範圍）為 R。

y = aˣ ← a > 0 且 a ≠ 1
a > 1: 單調遞增（越來越大），越增越快 ← 如 y=2ˣ
0 < a < 1: 單調遞減（越來越小），趨近於 0 ← 如 y=(½)ˣ

🎮 遊戲對照：連鎖炸彈

第 x 代
0 → 1 → 2 → 3 → 4
自變數 x
x = 代數
炸彈數 aˣ
1 → 2 → 4 → 8 → 16
函式值 y
y = aˣ
增長特點
每代翻倍，越來越猛
指數爆炸
比冪函式（x的n次方）還快！
💡 指數爆炸：2¹⁰ = 1024，2²⁰ ≈ 100 萬，2³⁰ ≈ 10 億！這就是為什麼「棋盤放米」的傳說能壓死國王。

📐 指數 vs 冪函式（x的n次方）：誰增長更快？

y = x²: 冪函式（x的n次方），x=10 時 y=100 ← 平方增長
y = 2ˣ: 指數函式（a的x次方），x=10 時 y=1024 ← 已經反超！
結論: x 足夠大時，指數函式（a的x次方）一定超過任何冪函式（x的n次方） ← 「指數爆炸」的本質
3
🔬 改變底數 a
③ 互動實驗 · 拖動滑塊 →

🔬 調節底數 a，看 y = aˣ 如何變化

底數 a 決定了「爆炸」的速度。a 越大，增長越瘋狂。

y = 2.0x
💡 a = 2.0，y = 2ˣ。x=10 時 y=1024，已經「爆炸」了！
4
🎯 挑戰關卡
④ 挑戰關卡 · 共 4 題
1下列函式是指數函式（a的x次方）的是（　　）
2連鎖炸彈 a=3，第 4 代有多少顆炸彈？
3y = 3ˣ 與 y = x³ 相比，當 x 足夠大時（　　）
4指數函式（a的x次方） y = aˣ (a>1) 的圖象必過點（　　）

5
💻 Python 核心程式碼：指數爆炸
⑤ 本課小結 · 講乾貨
🐍 指數函式（a的x次方） + 指數爆炸 ▼ 核心 8 行 →
lesson5_exponential.py📋 複製
def power(a, x):
 """指數函式（a的x次方）：y = aˣ"""
 return a ** x
# 連鎖炸彈：每代數量 = a^代數
a = 2 # 底數
for gen in range(11):
 count = power(a, gen)
 print(f'第{gen}代: {count}顆')
▶ 執行輸出
第0代: 1顆
第1代: 2顆
第2代: 4顆
第3代: 8顆
第4代: 16顆
第5代: 32顆
第10代: 1024顆 ← 指數爆炸！
6
📝 本課小結

今天你學到了什麼？

📐 指數函式（a的x次方）
y = aˣ (a>0, a≠1)，x 在指數位置
💥 指數爆炸
2¹⁰=1024, 2²⁰≈100萬, 2³⁰≈10億
📈 a > 1
單調遞增（越來越大），越增越快（如 2ˣ, 3ˣ）
🔗 比冪函式（x的n次方）快
x 足夠大時，aˣ 一定超過 xⁿ
後續課程：第 6 課 —— 倒計時之謎（對數函式（log））
💡 指數函式（a的x次方）的好兄弟，即將登場！
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