妖怪在關卡中來回巡邏——它的軌跡是一條正弦曲線 🌊 這就是三角函式 y = Asin(ωx+φ)
妖怪在關卡中沿正弦曲線巡邏。觀察：振幅 A決定巡邏範圍，角頻率 ω決定巡邏快慢。
先點「▶ 開始巡邏」，再切換振幅。⚠️ 注意看妖怪的活動範圍如何變化！
| x | y | 相位 |
|---|
剛才的妖怪巡邏遊戲中，我們觀察了週期性運動。你發現了什麼？
人教版必修第一冊（P178）：
函式 y = Asin(ωx + φ)（A > 0, ω > 0）叫做正弦型函式。其中：
• A 叫做振幅：決定波峰到波谷的距離
• ω 叫做角頻率：決定週期 T = 2π/ω
• φ 叫做初相：決定圖象的左右平移
正弦函式就是「圓周運動在一條直線上的投影」。妖怪的巡邏軌跡，就是勻速圓周運動的投影。
在炸彈人遊戲中，妖怪的巡邏就是週期函式的典型例子—— 它的位置隨時間週期性變化，永遠不會停止，永遠不會超出範圍。
在正弦函式 y = Asin(ωx + φ) 中，三個引數分別控制圖象的形狀。 拖動滑塊，觀察圖象如何變化。
把 ω 調到 2，週期縮短為 π≈3.14，妖怪巡邏速度翻倍！把 φ 調到 π/2，圖象左移，妖怪從最高點開始巡邏。
import math def sine_wave(x, A=1, omega=1, phi=0): """正弦型函式 y = Asin(ωx + φ)""" return A * math.sin(omega * x + phi) # 計算特殊點的值 print(sine_wave(0)) # 0.0 print(sine_wave(math.pi/2)) # 1.0 print(sine_wave(math.pi)) # 0.0 # 不同振幅 print(sine_wave(math.pi/2, A=3)) # 3.0 # 週期 T = 2π/ω omega = 2 T = 2 * math.pi / omega print(f'週期 T = {T:.2f}') # 週期 T = 3.14
0.0 1.0 0.0 3.0 週期 T = 3.14
import numpy as np import matplotlib.pyplot as pt x = np.linspace(0, 4*np.pi, 300) for A, w in [(1,1), (2,1), (1,2)]: y = A * np.sin(w * x) pt.plot(x, y, label=f'A={A},ω={w}') pt.axhline(0, color='k', lw=0.5) pt.legend() pt.savefig('sine_waves.png')