交换律、结合律、分配律、德摩根律——集合运算背后的「不变量」
分别向 A 和 B 添加元素，观察 A∪B 和 B∪A 是否相同。数据会实时记录并画出统计图。
| 步骤 | 操作 | |A| | |B| | |A∪B| |
|---|
刚才的游戏中，我们验证了 A∪B = B∪A。仔细想想：
人教版必修第一册（P11）：
交换律：集合的并、交运算满足交换律，也就是运算的顺序可以交换，结果不变。
结合律：三个集合做并（或交）运算时，先算哪两个都一样。
分配律连接了「并」和「交」两种运算，类似于乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac：
德摩根律揭示了「补集（剩下的元素）」与「并、交」之间的关系，是集合运算中最深刻的定律：
「补并交，补交并」——把「并」取补变成「交」，把「交」取补变成「并」。拆补号，要变号！
德摩根律是集合运算中最优美的定律。用调节滑块，选择不同的集合 A 和 B，亲手验证「并的补 = 补的交」。
# 验证集合运算律 A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {5, 6} U = {1,2,3,4,5,6,7} # 交换律 print(A | B == B | A) # True # 结合律 print((A | B) | C == A | (B | C)) # True # 德摩根律 comp = lambda X: U - X print(comp(A & B) == comp(A) | comp(B)) # True
True True True
import random U = set(range(1, 11)) A = set(random.sample(list(U), 4)) B = set(random.sample(list(U), 4)) C = set(random.sample(list(U), 3)) comp = lambda X: U - X # 五大定律一键验证 print("交换律:", A | B == B | A) print("结合律:", (A|B)|C == A|(B|C)) print("分配律:", A|(B&C) == (A|B)&(A|C)) print("德摩根:", comp(A|B) == comp(A)&comp(B)) print("补集（剩下的元素）律:", A | comp(A) == U)
交换律: True 结合律: True 分配律: True 德摩根: True 补集（剩下的元素）律: True