交換律、結合律、分配律、德摩根律——集合運算背後的「不變數」
分別向 A 和 B 新增元素，觀察 A∪B 和 B∪A 是否相同。資料會實時記錄並畫出統計圖。
| 步驟 | 操作 | |A| | |B| | |A∪B| |
|---|
剛才的遊戲中，我們驗證了 A∪B = B∪A。仔細想想：
人教版必修第一冊（P11）：
交換律：集合的並、交運算滿足交換律，也就是運算的順序可以交換，結果不變。
結合律：三個集合做並（或交）運算時，先算哪兩個都一樣。
分配律連線了「並」和「交」兩種運算，類似於乘法對加法的分配律 a(b+c)=ab+ac：
德摩根律揭示了「補集（剩下的元素）」與「並、交」之間的關係，是集合運算中最深刻的定律：
「補並交，補交併」——把「並」取補變成「交」，把「交」取補變成「並」。拆補號，要變號！
德摩根律是集合運算中最優美的定律。用調節滑塊，選擇不同的集合 A 和 B，親手驗證「並的補 = 補的交」。
# 驗證集合運算律 A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {5, 6} U = {1,2,3,4,5,6,7} # 交換律 print(A | B == B | A) # True # 結合律 print((A | B) | C == A | (B | C)) # True # 德摩根律 comp = lambda X: U - X print(comp(A & B) == comp(A) | comp(B)) # True
True True True
import random U = set(range(1, 11)) A = set(random.sample(list(U), 4)) B = set(random.sample(list(U), 4)) C = set(random.sample(list(U), 3)) comp = lambda X: U - X # 五大定律一鍵驗證 print("交換律:", A | B == B | A) print("結合律:", (A|B)|C == A|(B|C)) print("分配律:", A|(B&C) == (A|B)&(A|C)) print("德摩根:", comp(A|B) == comp(A)&comp(B)) print("補集（剩下的元素）律:", A | comp(A) == U)
交換律: True 結合律: True 分配律: True 德摩根: True 補集（剩下的元素）律: True