📐 第 3 课 · 函数的单调性

加速还是刹车?

炸弹人踩油门越来越快、踩刹车越来越慢——函数图像跟着升升降降

🎮 速度实时变化⏱ 约 15 分钟📐 人教版必修第一册 · 第三章

🎯 本课学习目标

1
🎮 加速 vs 减速:速度变了,图像怎么变?
① 游戏引入 · 选模式后点开始 →

🎮 给炸弹人踩油门或踩刹车

这次速度不是固定的——加速时越来越快,减速时越来越慢。观察速度表和函数图像如何实时响应

匀速
📈 加速
📉 减速
模式: 匀速 t = 0.0s

⚡ 实时速度表

4.0 m/s

📈 实时函数图像 s(t)

💡 观察:加速时图像是「越陡的曲线」还是「直线」?减速时呢?
2
📖 函数的单调性
② 概念讲解 · 核心概念

📖 定义(人教版必修第一册 P76)

📘 单调递增(越来越大)

设函数 f(x) 的输入的范围(x的取值范围)为 I,区间 D ⊆ I。如果 ∀x₁, x₂ ∈ D,当 x₁ < x₂ 时,都有 f(x₁) < f(x₂),就称 f(x) 在区间 D 上单调递增(越来越大)

📘 单调递减(越来越小)

类似地,当 x₁ < x₂ 时,都有 f(x₁) > f(x₂),就称 f(x) 在区间 D 上单调递减(越来越小)

💡 通俗理解:单调递增(越来越大) = 自变量变大,函数值也变大(图像上升);单调递减(越来越小) = 自变量变大,函数值变小(图像下降)。

🎮 游戏对照

📈 加速运动
速度越来越快,每秒走的距离越来越长
s(t) 单调递增(越来越大),且增加越来越快(下凸)
➡️ 匀速运动
速度不变,每秒走的距离相同
s(t) 单调递增(越来越大),均匀增加(直线)
📉 减速运动
速度越来越慢,每秒走的距离越来越短
s(t) 单调递增(越来越大),但增加越来越慢(上凸)

📐 关键区分

单调递增(越来越大): 函数值随 x 增大而增大 ← 图像从左下到右上
单调递减(越来越小): 函数值随 x 增大而减小 ← 图像从左上到右下
⚠️ 注意: 减速运动 s(t) 仍是单调递增(越来越大)!← 只是增加的速度变慢了
⚠️ 易错点:减速运动时,炸弹人仍在往前走(s 仍在增大),只是每秒走的距离在减小。所以 s(t) 仍然是单调递增(越来越大)的,只是图像变"平缓"了。
3
🔬 调节加速度
③ 互动实验 · 拖动滑块 →

🔬 改变加速度 a,看图像形状变化

运动公式:s(t) = v₀t + ½at²。调节初速度 v₀ 和加速度 a,观察图像如何弯曲。

s(t) = 4.0t + ½·1.0
💡 a = 1.0 > 0,图像为下凸曲线(越陡越快),表示加速运动。
4
🎯 挑战关卡
④ 挑战关卡 · 共 4 题
1函数 f(x) 在区间 [1,5] 上,x 越大 f(x) 越大,那么 f(x) 在该区间(  )
2炸弹人减速运动时,s(t) 的单调性是(  )
提示:s(t) 是距离,减速时仍在往前走
3s(t) = 4t + t² 的图象形状是(  )
4下列函数在 (0,+∞) 上单调递减(越来越小)的是(  )

5
💻 Python 核心代码:判断单调性
⑤ 本课小结 · 讲干货
🐍 二次函数 + 单调性判断 核心 10 行 →
lesson3_monotonic.py📋 复制
def s(t, v0=4, a=1):
 """匀加速运动:s = v₀t + ½at²"""
 return v0*t + 0.5*a*t**2
# 判断单调性:看相邻两点的差
def is_increasing(f, xs):
 return all(f(xs[i+1]) > f(xs[i]) for i in range(len(xs)-1))
t = [0, 1, 2, 3, 4, 5]
print([s(x) for x in t])
# [0, 4.5, 10, 16.5, 24, 32.5] → 单调递增(越来越大)
▶ 运行输出
[0.0, 4.5, 10.0, 16.5, 24.0, 32.5]
→ 单调递增(越来越大)(a>0,越来越快)
6
📝 本课小结

今天你学到了什么?

📈 单调递增(越来越大)
x 增大 → f(x) 增大,图像从左下到右上
📉 单调递减(越来越小)
x 增大 → f(x) 减小,图像从左上到右下
🎮 加速 ≠ 递减
减速运动 s(t) 仍递增,只是增加变慢(上凸)
📐 二次函数
s=v₀t+½at²,a>0 下凸,a<0 上凸
下节预告:第 4 课 —— 火力与爆炸半径(幂函数(x的n次方))
💡 火力翻倍,面积翻 4 倍?
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