📐 第 4 課 · 冪函式(x的n次方)

火力與爆炸半徑

火力每升一級,爆炸面積不是+1,而是按 xⁿ 增長——這就是冪函式(x的n次方)的威力

💥 真實爆炸動畫⏱ 約 15 分鐘📐 人教版必修第一冊

🎯 本課學習目標

1
💥 炸彈爆炸:火力越大,面積越誇張
① 遊戲引入 · 調火力後點爆炸 →

💥 升級火力,看爆炸面積如何膨脹

炸彈的火焰半徑 r = 火力等級,但面積 = πr²——火力翻倍,面積翻4 倍!這就是冪函式(x的n次方) y = x²。

火力等級: 1 面積: 0 格²

⚡ 火力面板

⭐☆☆☆☆
半徑 r
1
面積 A
3
A/r
3.0

📈 面積 vs 火力等級 (A = πr²)

2
📖 冪函式(x的n次方) y = xᵃ
② 概念講解 · 核心概念

📖 定義

📘 冪函式(x的n次方)

一般地,函式 y = xᵃ 叫做冪函式(x的n次方),其中 x 是自變數,a 是常數(指數)。

y = xᵃ ← a 可以是任意實數
常見: y=x (a=1), y=x² (a=2), y=x³ (a=3), y=√x (a=½), y=1/x (a=-1)

🎮 遊戲對照:面積 = πr²

火力等級 r
1 → 2 → 3 → 4 → 5
自變數 x
x = r
爆炸面積 A
π → 4π → 9π → 16π → 25π
函式值 y
y = πx²
增長特點
r 翻倍 → A 變 4 倍
非線性增長
不是正比例!
💡 關鍵發現:面積與半徑的平方成正比,不是與半徑成正比。這就是冪函式(x的n次方)與一次函式的本質區別。

📐 不同指數的冪函式(x的n次方)對比

y = x¹: 直線,勻速增長 ← 火力∝半徑
y = x²: 下凸曲線,加速增長 ← 圓面積∝r²
y = x³: 更陡的曲線,更快增長 ← 球體積∝r³
y = x⁰·⁵: 上凸曲線,減速增長 ← 平方根
3
🔬 改變指數 a
③ 互動實驗 · 拖動滑塊 →

🔬 調節指數 a,看 y = xᵃ 如何變化

指數 a 決定了函式的增長「爆發力」。a 越大,高值區增長越猛。

y = x2.0
💡 a = 2.0,y = x²。x 從 1 變到 5,y 從 1 猛增到 25——這就是「平方爆炸」的威力。
4
🎯 挑戰關卡
④ 挑戰關卡 · 共 4 題
1下列函式是冪函式(x的n次方)的是(  )
2炸彈火力從 2 升到 4(翻倍),爆炸面積變為原來的幾倍?
3y = x² 的圖象形狀是(  )
4下列冪函式(x的n次方)在 (0,+∞) 上增長最快的是(  )

5
💻 Python 核心程式碼:冪函式(x的n次方)與爆炸面積
⑤ 本課小結 · 講乾貨
🐍 冪函式(x的n次方) y = xᵃ + 爆炸面積 ▼ 核心 8 行 →
lesson4_power.py📋 複製
import math
def area(r):
 """爆炸面積:A = πr²(冪函式(x的n次方) a=2)"""
 return math.pi * r**2
def power(x, a):
 """通用冪函式(x的n次方):y = xᵃ"""
 return x ** a
# 火力 1~5 的面積
for r in range(1, 6):
 print(f'火力{r}: 面積={area(r):.1f}')
▶ 執行輸出
火力1: 面積=3.1
火力2: 面積=12.6 ← 翻倍→4倍!
火力3: 面積=28.3
火力4: 面積=50.3
火力5: 面積=78.5
6
📝 本課小結

今天你學到了什麼?

📐 冪函式(x的n次方)
y = xᵃ,x 為自變數,a 為常數指數
💥 面積 = πr²
火力翻倍 → 面積翻 4 倍,非線性增長
📈 指數越大
高值區增長越猛,曲線越陡
🔗 與一次函式區別
一次函式勻速增長,冪函式(x的n次方)加速增長
下節預告:第 5 課 —— 連鎖反應(指數函式(a的x次方))
💡 1→2→4→8→16… 指數爆炸來了!
👉 前往第 5 課