你有沒有發現：炸彈倒計時越到後面「感覺」越快？🤔 這不是錯覺——對數函式（log）會告訴你答案
炸彈倒計時從 1000 開始。⚠️ 注意看：線性刻度和對數刻度有什麼不同？對數刻度把大數「壓扁」了！
先點「▶ 開始倒計時」，再切換速度觀察。⚠️ 注意看右側資料表中 log₁₀(x) 的變化！
| x (剩餘) | log₁₀(x) | 變化率 |
|---|
剛才的倒計時遊戲中，我們同時觀察了剩餘時間 x和對數值 log₁₀(x)。你發現了什麼？
人教版必修第一冊（P112）：
一般地，函式 y = logₐx（a > 0 且 a ≠ 1）叫做對數函式（log），其中 x 是自變數，輸入的範圍（x的取值範圍）是 (0, +∞)。
對數函式（log）是指數函式（a的x次方） y = aˣ 的反函式。
對數函式（log）回答的問題是「a 的幾次方等於 x？」
比如：log₁₀1000 = 3，因為 10³ = 1000
對數函式（log）的本質是把乘除變成加減，把乘方變成乘法：
• 地震用里氏震級（對數）——每差 1 級，能量差約 30 倍
• 聲音用分貝（對數）——每差 10dB，強度差 10 倍
• 炸彈倒計時也一樣：從 1000 到 1，在對數刻度上只是從 3 到 0
在對數函式（log） y = logₐx 中，a 叫做底數。 不同的底數，圖象的形狀不同。常用底數有 10（常用對數）和 e（自然對數）。
把 a 調到 2，觀察 x=1,2,4,8,16 時 y 的值——它們分別是 0,1,2,3,4！這就是二進位制的對數。
import math # 常用對數（底數為10） print(math.log10(1000)) # 3.0 print(math.log10(100)) # 2.0 print(math.log10(1)) # 0.0 # 自然對數（底數為e） print(math.log(math.e)) # 1.0 # 換底公式：log_a(b) = log(b) / log(a) def log_base(a, b): return math.log(b) / math.log(a) print(log_base(2, 32)) # 5.0 print(log_base(3, 81)) # 4.0
3.0 2.0 0.0 1.0 5.0 4.0
import numpy as np import matplotlib.pyplot as pt x = np.linspace(0.1, 20, 200) for a in [2, 5, 10, np.e]: y = np.log(x) / np.log(a) # 換底公式 pt.plot(x, y, 'o-', label=f'a={a}') pt.axhline(0, color='k', lw=0.5) pt.axvline(0, color='k', lw=0.5) pt.legend() pt.savefig('log_curves.png')