你有没有发现：炸弹倒计时越到后面「感觉」越快？🤔 这不是错觉——对数函数（log）会告诉你答案
炸弹倒计时从 1000 开始。⚠️ 注意看：线性刻度和对数刻度有什么不同？对数刻度把大数「压扁」了！
先点「▶ 开始倒计时」，再切换速度观察。⚠️ 注意看右侧数据表中 log₁₀(x) 的变化！
| x (剩余) | log₁₀(x) | 变化率 |
|---|
刚才的倒计时游戏中，我们同时观察了剩余时间 x和对数值 log₁₀(x)。你发现了什么？
人教版必修第一册（P112）：
一般地，函数 y = logₐx（a > 0 且 a ≠ 1）叫做对数函数（log），其中 x 是自变量，输入的范围（x的取值范围）是 (0, +∞)。
对数函数（log）是指数函数（a的x次方） y = aˣ 的反函数。
对数函数（log）回答的问题是「a 的几次方等于 x？」
比如：log₁₀1000 = 3，因为 10³ = 1000
对数函数（log）的本质是把乘除变成加减，把乘方变成乘法：
• 地震用里氏震级（对数）——每差 1 级，能量差约 30 倍
• 声音用分贝（对数）——每差 10dB，强度差 10 倍
• 炸弹倒计时也一样：从 1000 到 1，在对数刻度上只是从 3 到 0
在对数函数（log） y = logₐx 中，a 叫做底数。 不同的底数，图象的形状不同。常用底数有 10（常用对数）和 e（自然对数）。
把 a 调到 2，观察 x=1,2,4,8,16 时 y 的值——它们分别是 0,1,2,3,4！这就是二进制的对数。
import math # 常用对数（底数为10） print(math.log10(1000)) # 3.0 print(math.log10(100)) # 2.0 print(math.log10(1)) # 0.0 # 自然对数（底数为e） print(math.log(math.e)) # 1.0 # 换底公式：log_a(b) = log(b) / log(a) def log_base(a, b): return math.log(b) / math.log(a) print(log_base(2, 32)) # 5.0 print(log_base(3, 81)) # 4.0
3.0 2.0 0.0 1.0 5.0 4.0
import numpy as np import matplotlib.pyplot as pt x = np.linspace(0.1, 20, 200) for a in [2, 5, 10, np.e]: y = np.log(x) / np.log(a) # 换底公式 pt.plot(x, y, 'o-', label=f'a={a}') pt.axhline(0, color='k', lw=0.5) pt.axvline(0, color='k', lw=0.5) pt.legend() pt.savefig('log_curves.png')